Șase lecții scurte, animate, ca niște filmulețe, după capitolul 7 din manualul de clasa a IX-a. După fiecare lecție exersezi pe un desen pe care îl miști singură, apoi dai un test rapid.
0/6lecții terminate
0steluțe strânse
0insigne
Încearcă: trage de punctele A și B
Lecțiile capitolului
Jocuri și exerciții
Insignele tale
1
💃
Coregrafia vectorilor
Ajung-o pe dansatoare la steluță combinând pașii. Fiecare pas e un vector.
Nivelul 1
👁
Echipolente sau nu?
10 runde. Uită-te la cele două săgeți și decide repede.
Runda 1 din 10
Echipolente = aceeași direcție, același sens, aceeași lungime.
🗺
Harta mentală
Tot capitolul dintr-o privire. Apasă pe o lecție ca să o deschizi.
★
Probleme din manual, pas cu pas
Încearcă singură întâi. Deschide indiciul doar dacă te blochezi.
✎
Testul capitolului
10 întrebări din tot capitolul. Nota se calculează ca în manual, cu 1 punct din oficiu.
∞
Antrenament fără sfârșit
Exerciții pe coordonate, generate la întâmplare.
0la rând
0record
0corecte
Scrie numerele negative cu minus în față: −3 sau -3.
Un segment obișnuit [AB] e ca o bucată de sfoară: nu contează de la care capăt te uiți. Un segment orientat e ca un drum: pleci din A și ajungi în B. Ordinea contează.
DefinițieO pereche ordonată (A, B) de puncte din plan se numește segment orientat (sau vector legat în A) și se notează AB. Punctul A este originea, iar B este extremitatea.
Dacă A = B, segmentul AA se numește nul și se desenează doar ca un punct.
AB și CD sunt egale dacă A coincide cu C și B coincide cu D.
AB și BA sunt opuse: același drum, parcurs invers.
Dreapta (AB) este dreapta suport. Două segmente orientate sunt coliniare dacă au aceeași dreaptă suport și paralele dacă dreptele lor suport sunt paralele.
Truc: citește săgeata „de la coadă la vârf”. Coada = originea, vârful = extremitatea.
Direcția
Toate dreptele paralele cu o dreaptă dată formează o direcție. Gândește-te la liniile unui caiet: toate au aceeași direcție.
De reținutDouă segmente orientate nenule au aceeași direcție dacă și numai dacă sunt paralele sau coliniare.
Sensul
Pe o dreaptă poți merge în exact două sensuri. Două segmente paralele au același sens dacă extremitățile lor sunt în același semiplan față de dreapta care unește originile.
Lungimea
Lungimea lui AB este distanța de la A la B. Se mai numește normă sau modul și se notează ‖AB‖, |AB| sau AB.
DefinițieDouă segmente orientate nenule sunt echipolente dacă au aceeași direcție, același sens și aceeași lungime. Scriem AB ~ CD. Toate segmentele nule sunt echipolente între ele.
Proprietate utilăAB ~ CD dacă și numai dacă segmentele [AD] și [BC] au același mijloc.
Altfel spus: dacă A, B, D, C nu sunt coliniare, ABDC e paralelogram.
Imaginează-ți o instrucțiune de mișcare: „3 pătrățele la dreapta și 1 în sus”. Nu contează de unde pleci, instrucțiunea e aceeași. Asta e un vector. Fiecare săgeată desenată după instrucțiune e doar un exemplu, un reprezentant.
DefinițieMulțimea tuturor segmentelor orientate echipolente cu un segment dat se numește vector. Fiecare segment din această mulțime este un reprezentant al vectorului. Vectorii se notează a, b, … sau AB, iar mulțimea vectorilor din plan cu 𝒱.
Vectorii AB și CD sunt egali dacă segmentele AB și CD sunt echipolente.
Vectori speciali
Vectorul nul0: are lungimea 0 și este coliniar cu orice vector.
Versorul (vectorul unitate): un vector de lungime 1.
Vectori coliniari: au aceeași direcție.
Vectori opuși: coliniari, aceeași lungime, sensuri opuse. Opusul lui a este −a.
Vectorul de pozițieFixăm un punct O, numit origine. Fiecărui punct M îi corespunde exact un vector OM, numit vectorul de poziție al lui M, și invers: fiecărui vector îi corespunde exact un punct.
Dacă faci 4 pași spre est și apoi 3 spre nord, unde ajungi? Vectorul care te duce direct acolo este suma celor doi.
Regula triunghiului (relația lui Chasles)Fie OA un reprezentant al lui a și AB un reprezentant al lui b. Suma a + b este vectorul reprezentat de OB:OA + AB = OB
Litera din mijloc „se lipește”: OA + AB = OB.
Regula paralelogramuluiDacă AB = a și AD = b pleacă din același punct, completăm paralelogramul ABCD. Diagonala din A e suma:AB + AD = AC
Regula poligonului: pentru mai mulți vectori, îi așezi „cap la coadă”: OA1 + A1A2 + … + An−1An = OAn.
Proprietăți
asociativitate: (a + b) + c = a + (b + c)
element neutru: a + 0 = 0 + a = a
opus: a + (−a) = 0
comutativitate: a + b = b + a
Diferențaa − b = a + (−b). În paralelogramul ABCD: AB − AD = DB (cealaltă diagonală, orientată spre vârful lui a).
Înmulțirea cu un număr „întinde”, „strânge” sau „întoarce” săgeata, dar o lasă pe aceeași direcție.
DefinițieFie t ∈ ℝ, t ≠ 0 și a ≠ 0. Produsul ta este vectorul care are:
aceeași direcție cu a;
același sens cu a dacă t > 0 și sens contrar dacă t < 0;
lungimea |t| · ‖a‖.
Dacă a = 0 sau t = 0, atunci ta = 0.
Proprietăți
t(a + b) = ta + tb
(s + t)a = sa + ta
s(ta) = (st)a
1 · a = a
Condiția de coliniaritateDacă a ≠ 0, vectorii a și b sunt coliniari dacă și numai dacă există t ∈ ℝ astfel încât b = ta.
Raportul în care un punct împarte un segmentM împarte AB în raportul k dacă MA = k · MB. Dacă M e între A și B, atunci k < 0; dacă e în afară, k > 0.
Formula mijlocului, foarte des folosită: dacă M e mijlocul lui [BC], atunci AM = ½(AB + AC).
TeoremăFie a și b doi vectori nenuli și necoliniari. Pentru orice vector v există numerele reale r și s, unice, astfel încât v = ra + sbSpunem că v este o combinație liniară de a și b.
În reperul cartezian xOy
Folosim doi versori speciali: i(1, 0) pe axa Ox și j(0, 1) pe axa Oy. Dacă M(x, y), atunci vectorul OM are coordonatele (x, y):
v = xi + yj
Operații pe coordonate
Pentru v(x1, y1) și u(x2, y2):
suma: v + u = (x1 + x2, y1 + y2)
diferența: v − u = (x1 − x2, y1 − y2)
produsul cu un scalar: λv = (λx1, λy1)
Vectori paraleli (coliniari)u(x, y) ∥ v(z, t) ⇔ x/z = y/t (z ≠ 0, t ≠ 0)
Bonus din Pitagora: lungimea lui v(x, y) este √(x² + y²). Iar AB are coordonatele (xB − xA, yB − yA).
1. Fie A, B, C trei puncte din plan. Arată că AB + BC + CA = 0.
IndiciuAplică relația lui Chasles de două ori.RezolvareAB + BC = AC, apoi AC + CA = AA = 0.
2. În triunghiul ABC, M și N sunt mijloacele laturilor [AB] și [AC]. Arată că MN = ½ BC.
IndiciuMergi de la M la N trecând prin A.RezolvareMN = MA + AN = ½BA + ½AC = ½(BA + AC) = ½BC. Așa demonstrezi vectorial teorema liniei mijlocii!
3. În triunghiul ABC, M este mijlocul laturii [BC]. Arată că AM = ½(AB + AC).
IndiciuScrie AM în două feluri: prin B și prin C, apoi adună.RezolvareAM = AB + BM și AM = AC + CM. Adunând: 2AM = AB + AC + (BM + CM). Cum M e mijlocul, BM și CM sunt opuși, deci suma lor e 0.
4. Fie ABCD un patrulater convex și M, N mijloacele diagonalelor [AC], [BD]. Arată că MN = ½(AB + CD).
IndiciuAcelași truc ca la problema 3: două drumuri de la M la N.RezolvareMN = MA + AB + BN și MN = MC + CD + DN. Adunăm: 2MN = (MA + MC) + (AB + CD) + (BN + DN). Prima și ultima paranteză sunt 0 (mijloace), deci MN = ½(AB + CD).
5.G este centrul de greutate al triunghiului ABC. Arată că GA + GB + GC = 0.
IndiciuFie M mijlocul lui [BC]. Ce știi despre AG și GM?RezolvareCa la problema 3, GB + GC = 2GM. Centrul de greutate e la două treimi din mediană de vârf, deci AG = 2GM, cu sens opus: GA = −2GM. Suma devine −2GM + 2GM = 0.